\[{\Large{\text{Основные факты о площади}}}\]
Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной \(1\) см, \(1\) мм и т.д. (единичный квадрат). Тогда площадь будет измеряться в см\(^2\) , мм\(^2\) соответственно.
Иными словами, можно сказать, что площадь фигуры - это величина, численное значение которой показывает, сколько раз единичный квадрат умещается в данной фигуре.
Свойства площади
1. Площадь любого многоугольника - величина положительная.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
4. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2\) .
\[{\Large{\text{Площадь прямоугольника и параллелограмма}}}\]
Теорема: площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(S=ab\) .
Доказательство
Достроим прямоугольник \(ABCD\) до квадрата со стороной \(a+b\) , как показано на рисунке:
Данный квадрат состоит из прямоугольника \(ABCD\) , еще одного равного ему прямоугольника и двух квадратов со сторонами \(a\) и \(b\) . Таким образом,
\(\begin{multline*} S_{a+b}=2S_{\text{пр-к}}+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_{\text{пр-к}}+a^2+b^2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)
Определение
Высота параллелограмма - это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота \(BK\)
падает на сторону \(AD\)
, а высота \(BH\)
- на продолжение стороны \(CD\)
:
Теорема: площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Доказательство
Проведем перпендикуляры \(AB"\) и \(DC"\) , как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\) .
Тогда \(AB"C"D\) – прямоугольник, следовательно, \(S_{AB"C"D}=AB"\cdot AD\) .
Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB"\) и \(DCC"\) равны. Таким образом,
\(S_{ABCD}=S_{ABC"D}+S_{DCC"}=S_{ABC"D}+S_{ABB"}=S_{AB"C"D}=AB"\cdot AD.\)
\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]
Определение
Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Доказательство
Пусть \(S\) – площадь треугольника \(ABC\) . Примем сторону \(AB\) за основание треугольника и проведём высоту \(CH\) . Докажем, что \ Достроим треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\) так, как показано на рисунке:
Треугольники \(ABC\) и \(DCB\) равны по трем сторонам (\(BC\) – их общая сторона, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\) ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\) треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма \(ABDC\) , то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\) .
Теорема
Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Следствие
Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.
Теорема
Если два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_2B_2C_2\) имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Доказательство
Пусть \(\angle A=\angle A_2\) . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\) совместилась с точкой \(A_2\) ):
Проведем высоты \(BH\) и \(C_2K\) .
Треугольники \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имеют одинаковую высоту \(C_2K\) , следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]
Треугольники \(ABC_2\) и \(ABC\) имеют одинаковую высоту \(BH\) , следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]
Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или } \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot A_2C_2}{AB\cdot AC}\]
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Теорема
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Теорема: формула Герона
Пусть \(p\) – полупериметр треугольника, \(a\) , \(b\) , \(c\) – длины его сторон, тогда его площадь равна \
\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]
Замечание
Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.
Теорема
Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) . Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :
Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:
\(\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}\)
Следствие: площадь ромба
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \
Определение
Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.
Теорема: площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) . Проведем \(CD"\parallel AB\) , как показано на рисунке:
Тогда \(ABCD"\) – параллелограмм.
Проведем также \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) – высоты трапеции).
Тогда \(S_{ABCD"}=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_{CDD"}=\dfrac12CH\cdot D"D\)
Т.к. трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD"\) и треугольника \(CDD"\) , то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:
\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]
Помогите пожалуйста решить геометрию и получил лучший ответ
Ответ от
1. Если многоугольник произвольный, то из одной вершины проведите все диагонали и найдите площадь каждого получившегося треугольника. Результаты сложите. Если многоугольник правильный, то существуют формулы для каждого отдельного случая. Но можно вывести и общую формулу, зависящую от количества сторон.
2. Площадь многоугольника есть положительная величина со следующими свойствами:
I. Равные многоугольники имеют равные площади.
II. Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних общих точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
III.Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей)
3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон
Док-во:
Пусть у прямоугольника длины сторон а и b. Достроим его до квадрата со стороной a+b. Т. е. его площадь (квадрата) равна (a+b)^2. С другой стороны эта площадь равна сумме квадрата со стороной а, квадрата со сторой b и двух прямоугольников со сторонами а и b (которую мы и доказаываем). Обозначим ее S и приравняем площадь квадрате со стороной a+b к сумме площадей "маленьких прямоугольников и квадратов".
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Доказано
4. Sabcd=a*h (Площадь паралелограмма равна произведению его основания на высоту)
Если BF и CM - перпендикуляры к прямой AD, то треугольник ABF=треугольнику DCE
(так как AB=DC и проекция AF=DM). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь паралеллограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABF (равного треугольникуDCM) и трапеции FBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABF, получим площадь трапеции FBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCM. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. площадь прямоугольного треугольника это половина площи прямоугольника т. е. S=ab. то Sтр=ab/2.
или ch2. т. к. у прямоугольного треугольника произведение катетов равно произведению высоты на гипотенузу
6. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.
7. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, проведенную к основаниям. Проведя две высоты получим прямоугольник, со сторонами a и h, и два прямоугольных треугольника, с катетами p и q, такими, что a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. ФормулировкиТеорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: Впрямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через, а длины катетов через и:Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Помогите пожалуйста решить геометрию и получил лучший ответ
Ответ от
1. Если многоугольник произвольный, то из одной вершины проведите все диагонали и найдите площадь каждого получившегося треугольника. Результаты сложите. Если многоугольник правильный, то существуют формулы для каждого отдельного случая. Но можно вывести и общую формулу, зависящую от количества сторон.
2. Площадь многоугольника есть положительная величина со следующими свойствами:
I. Равные многоугольники имеют равные площади.
II. Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних общих точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
III.Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей)
3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон
Док-во:
Пусть у прямоугольника длины сторон а и b. Достроим его до квадрата со стороной a+b. Т. е. его площадь (квадрата) равна (a+b)^2. С другой стороны эта площадь равна сумме квадрата со стороной а, квадрата со сторой b и двух прямоугольников со сторонами а и b (которую мы и доказаываем). Обозначим ее S и приравняем площадь квадрате со стороной a+b к сумме площадей "маленьких прямоугольников и квадратов".
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Доказано
4. Sabcd=a*h (Площадь паралелограмма равна произведению его основания на высоту)
Если BF и CM - перпендикуляры к прямой AD, то треугольник ABF=треугольнику DCE
(так как AB=DC и проекция AF=DM). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь паралеллограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABF (равного треугольникуDCM) и трапеции FBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABF, получим площадь трапеции FBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCM. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. площадь прямоугольного треугольника это половина площи прямоугольника т. е. S=ab. то Sтр=ab/2.
или ch2. т. к. у прямоугольного треугольника произведение катетов равно произведению высоты на гипотенузу
6. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.
7. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, проведенную к основаниям. Проведя две высоты получим прямоугольник, со сторонами a и h, и два прямоугольных треугольника, с катетами p и q, такими, что a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. ФормулировкиТеорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: Впрямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через, а длины катетов через и:Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Практическое измерение площадей многоугольников производится аналогично изменению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь этого квадрата считается равной единице. Измерить площадь многоугольника - значит узнать, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике, - это число и принимается за его площадь.
Практически измерение площади многоугольника можно осуществить так.
Расчертим лист бумаги на квадраты со стороной, равной единице измерения отрезков и наложим на него данный многоугольник. Пусть m - число квадратов, полностью покрытых многоугольником, а n - число квадратов, покрытых многоугольником лишь частично.
Число S, выражающее площадь многоугольника, заключено, таким образом, между числами
S 1 = m и S 1 , =m + n:
Каждое из чисел S 1 и S 1 , может, рассматривается как приближенное значение числа S(S 1 - с недостатком, S 1 , - с избытком).
Для более точного измерения площади многоугольника разобьем каждый из n частично покрытых квадратов на 100 равных квадратиков. Ясно, что площадь каждого из них равна. Пусть m1 - число квадратиков, полностью покрытых с нашим многоугольником, n1 - число частично покрытых квадратиков. Очевидно m1 + n1 ? 100n . теперь можно сказать число S заключено между числами S 2 = m + и S 2 , = m +, т.е. S 2 ? S ? S 2 , при этом очевидно S 2 больше или равно S 1 . с другой стороны, поскольку m1 + n1 ? 100n , то? n, и поэтому S 2 ? S 1 .
Разобьем теперь каждый из n 1 частично покрытых квадратиков на 100 еще маленьких равных квадратов и повторим наши рассуждения. В результате получим новые неравенства: S 1 ?S ? S 3 причем S 3 , ? S2, а S 3 ? S 2 , . Вновь повторим аналогичные рассуждения и т.д. При этом будут получаться все новые и новые неравенства вида SS S / R , S 1 S 2 …S R , S / 1 S / 2 …S / R , причем разность S / R -S R с увеличением k будет, приближается к нулю. Это следует из того что разность равна площади фигуры, составляющей из квадратиков и покрывающей ломаную, ограничивающею многоугольник (на рисунке многоугольник представлен в увеличенном масштабе).
С увеличением k эта фигура все ближе и ближе сжимается к ломаной и поэтому ее площадь приближается к нулю. следовательно, числа S R и S / R , будут, приближается к S. В этом и состоит процесс измерения площади многоугольника, позволяющей найти приближенное значение S с произвольной точностью.