Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.
СодержаниеСм. также: Синус и косинус - свойства, графики, формулы
Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
(cos
x)′ = - sin
x
.
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1)
Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(1)
;
2)
Свойство непрерывности функции синус:
(2)
;
3)
Значение первого замечательного предела:
(3)
;
4)
Свойство предела от произведения двух функций:
Если и ,
то
(4)
.
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1)
;
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку .
При ,
.
Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
и y = cos n
x
.
Пример 1
Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx .
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции
y = cos nx
.
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
2)
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем .
.
Подставим :
(П1)
.
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
;
;
.
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
;
y = cos n
x
.
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n:
y = cos n
x
.
Затем подставим n = 2
и n = 3
. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
Функции ,
зависящей от переменной :
;
2)
Функции ,
зависящей от переменной :
.
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
.
Подставим :
(П2)
.
Теперь подставим и :
;
.
;
;
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x
первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)
.
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
См. также:Навигация по странице.
Производная постоянной.
При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем , где x
– любое действительное число, то есть, x
– любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Пример.
Найти производные следующих постоянных функций
Решение.
В первом случае мы имеем производную натурального числа 3 , во втором случае нам приходится брать производную от параметра а , который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби .
Ответ:
Производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x
(на всей области определения)
Производная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид 
, где показатель степени p
– любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле :
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x .
Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e
и применим свойство логарифма:
Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
Осталось провести доказательство для отрицательных x .
Когда показатель p
представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел ). То есть, 
. В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.
Когда показатель p
представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, 
. В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:
Последний переход возможен в силу того, что если p
- нечетное число, то p-1
либо четное число, либо нуль (при p=1
), поэтому, для отрицательных x
справедливо равенство 
.
Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p .
Пример.
Найти производные функций .
Решение.
Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел:
По определению производной для функции синуса имеем 
.
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид 
,
где показатель степени p
–
любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство 
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем 
.
Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем 
.
В другой записи 
.
Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма 
(здесь y
–
функция, а x
-
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, 
и взаимно
обратные функции.
Из таблицы
производных видим,
что 
и 
.
Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.
Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.
Начнем с производной арксинуса.
.
Тогда по формуле производной обратной
функции получаем
Осталось провести преобразования.
Так
как областью значений арксинуса является
интервал 
,
то 
(смотрите
раздел основные
элементарные функции, их свойства и
графики). Поэтому ,
а не
рассматриваем.
Следовательно, 
.
Областью определения производной
арксинуса является промежуток (-1;
1)
.
Для
арккосинуса все делается абсолютно
аналогично:
Найдем производную арктангенса.
Для обратной
функцией является 
.
Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.
Пусть arctgx
= z
,
тогда
Следовательно,
Схожим
образом находится производная
арккотангенса:
Основа доказательства ― определение предела функции. Можно воспользоваться другим способом, используя тригонометрические формулы приведения для косинуса и синуса углов. Выразить одну функцию через другую - косинус через синус, и продифференцировать синус со сложным аргументом.
Рассмотрим первый пример вывода формулы (Cos(х))"
Даем ничтожно малое приращение Δх аргументу х функции у = Cos(х). При новом значении аргумента х+Δх получаем новое значение функции Cos(х+Δх). Тогда приращение функции Δу будет равно Cos(х+Δx)-Cos(x).
Отношение же приращения функции к Δх будет таким: (Cos(х+Δx)-Cos(x))/Δх. Проведем тождественные преобразования в числителе получившейся дроби. Вспомним формулу разности косинусов углов, результатом будет произведение -2Sin(Δх/2) умножить на Sin(х+Δх/2). Находим предел частного lim этого произведения на Δх при Δх, стремящемся к нулю. Известно, что первый (его называют замечательным) предел lim(Sin(Δх/2)/(Δх/2)) равен 1, а предел -Sin(х+Δх/2) равен -Sin(x) при Δx, стремящемся к нулю.
Запишем результат: производная (Cos(х))" равна - Sin(х).
Некоторым больше нравится второй способ вывода той же формулы
Из курса тригонометрии известно: Cos(х) равно Sin(0,5·∏-х), аналогично Sin(х) равно Cos(0,5·∏-x). Тогда дифференцируем сложную функцию - синус дополнительного угла (вместо косинуса икс).
Получим произведение Cos(0,5·∏-х)·(0,5·∏-х)", потому что производная синуса х равна косинусу х. Обращаемся ко второй формуле Sin(х) = Cos(0,5·∏-x) замены косинуса на синус, учитываем, что (0,5·∏-х)" = -1. Теперь получаем -Sin(x).
Итак, найдена производная косинуса, у" = -Sin(х) для функции у = Cos(х).
Часто используемый пример, где употребляется производная косинуса. Функция y = Cos 2 (x) сложная. Находим сначала дифференциал степенной функции с показателем 2, это будет 2·Cos(x), затем умножаем его на производную (Cos(x))", которая равна -Sin(х). Получаем y" = -2·Cos(х)·Sin(x). Когда применим формулу Sin(2·х), синуса двойного угла, получим окончательный упрощенный
ответ y" = -Sin(2·х)
Гиперболические функции
Применяются при изучении многих технических дисциплин: в математике, например, облегчают вычисления интегралов, решение Выражаются они через тригонометрические функции с мнимым аргументом, так, гиперболический косинус ch(х) = Cos(i·х), где i ― мнимая единица, гиперболический синус sh(x) = Sin(i·x).
Производная гиперболического косинуса вычисляется достаточно просто.
Рассмотрим функцию у = (e x +e -x)/2, это и есть гиперболический косинус ch(х). Используем правило нахождения производной суммы двух выражений, правило выноса постоянного множителя (Const) за знак производной. Второе слагаемое 0,5·е -х ― сложная функция (ее производная равна -0,5·е -х), 0,5·е х ― первое слагаемое. (ch(х)) "=((e х +e - x)/2)" можно записать по другому: (0,5·e х +0,5·е - х)" = 0,5·e х -0,5·e - х, потому что производная (e - x)" равна -1, умнноженная на e - x . Получилась разность, а это есть гиперболический синус sh(x).
Вывод: (ch(х))" = sh(x).
Рассмитрим на примере, как вычислить производную функции у = ch(x 3 +1).
По гиперболического косинуса со сложным аргументом у" = sh(x 3 +1)·(x 3 +1)", где (x 3 +1)" = 3·x 2 +0.
Ответ: производная данной функции равна 3·х 2 ·sh(х 3 +1).
Производные рассмотренных функций у = ch(х) и y = Cos(х) табличные
При решении примеров нет необходимости каждый раз дифференцировать их по предложенной схеме, достаточно использовать вывод.
Пример. Продифференцировать функцию у = Cos(x)+Cos 2 (-x)-Ch(5·х).
Легко вычислить (воспользуемся табличными данными), у" = -Sin(x)+Sin(2·х)-5·Sh(5·х).
- Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Производные простых функций
1. Производная от числа равна нулюс´ = 0
Пример:
5´ = 0
Пояснение
:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях - скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной
равна единице
x´ = 1
Пояснение
:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение
:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х
) ее значение (y) растет в с
раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с
.
Откуда следует, что
(cx + b)" = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|" = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных - наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени
равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)"= cx c-1
, при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запоминания формулы
:
Снесите степень переменной "вниз" как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 - двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 - тройку "спускаем вниз", уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного "не научно", но очень просто запомнить.
6. Производная дроби
1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)" = (x -1)" , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2
7. Производная дроби
с переменной произвольной степени
в знаменателе
(1 / x c)" =
- c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Производная корня
(производная переменной под квадратным корнем)
(√x)" = 1 / (2√x)
или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)" = (х 1/2)" значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Loading...